Vector Set 向量集

Vector Set 向量集，就是把若干个向量放在一起形成的集合。它只说明“哪些向量属于这一组”，并没有自动保证这些向量可以相加、缩放，或者组成一个向量空间。

可以把它理解成一个候选输入/输出的清单：集合中的每一个元素都是一个向量，集合本身则规定了哪些向量允许被取出来。

定义

一个向量集通常写成集合符号：

S=\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\ldots,\mathbf v_k\}

一个具体的有限向量集是：

S=\left\{ \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}6\\8\\9\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}9\\0\\2\end{bmatrix} \right\}

它是一个包含 4 个三维向量 的有限集合。这里的逗号是在列举成员，不表示要把这些向量相加。

考虑下面的集合：

L=\left\{ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} :x_1+x_2=1 \right\}

这里 $x_1,x_2$ 可以取遍满足条件的所有实数，因此集合中有无限多个向量。例如：

\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0.3\\0.7\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0.7\\0.3\end{bmatrix}\in L

把 $x_2=1-x_1$ 代入后，条件变成：

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}t\\1-t\end{bmatrix},\quad t\in\mathbb R

所以 $L$ 在平面上是一条直线 $x_1+x_2=1$ 。改变参数 $t$ ，就得到这条直线上的不同向量。

\operatorname{span}(\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_k) =\{c_1\mathbf v_1+\cdots+c_k\mathbf v_k\mid c_i\in\mathbb R\}

Span 一定包含零向量（令所有 $c_i=0$ ），并且是一个子空间；普通的向量集则不一定。

例如：

\left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}

只是两个向量组成的集合，而

\operatorname{span}\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right)=\mathbb R^2

是由它们生成的、包含无限多个向量的整个平面。