Standard Basis 标准基

Standard Basis 标准基 是搭建整个坐标空间的“基本骨架”。

如果我们把整个空间想象成一个用网格搭建起来的世界，那么标准基就是定义这个网格“朝哪走、走一步多远”的原始标尺。

在R3\mathbb{R}^3 这个空间中，三个最基础的"方向"：

e1=(100),e2=(010),e3=(001)\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

任何向量都可以由它们线性组合得到：

(abc)=ae1+be2+ce3\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2 + c\mathbf{e}_3

区分：基 VS 标准基 VS 标准基向量

它们是是“从大到小”的包含关系：

  1. 基（Basis）：在 nn 维空间里，只要找 nn 个不共线/不在同一个超平面上的向量，就能当作坐标轴参照系，用来定位空间里的任何位置。（这就像你在地图上用任何两条不平行的路当作参照轴都能定位全城一样，所以空间的“基”有无数种选择——详见 Basis 基）。
  2. 标准基（Standard Basis）：在无数种“基”里，我们最习惯、最顺眼的那一组——直接沿着笛卡尔直角坐标系的坐标轴方向，而且每个向量长度都是 1。这就是大家默认选用的“标准基”（有的教材也叫自然基）。
  3. 标准基向量（Standard Basis Vector）：构成标准基集合里的每一个成员。

理解：为什么说坐标本质上就是“路线指南”？

在 nn 维空间 Rn\mathbb{R}^n 中，第 ii 个标准基向量记作 ei\mathbf{e}_i。它的特点非常朴素：除了第 ii 个位置是 1，其他地方全都是 0。

ei=[0⋮1⋮0]←只有第 i 位是 1\mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \leftarrow \text{只有第 } i \text{ 位是 1}
  • 二维空间 R2\mathbb{R}^2：只有两个方向，大家习惯叫 i^\hat{\mathbf{i}} 和 j^\hat{\mathbf{j}}：
i^=e1=[10](x 轴方向走 1 步),j^=e2=[01](y 轴方向走 1 步)\hat{\mathbf{i}} = \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad (\text{x 轴方向走 1 步}), \qquad \hat{\mathbf{j}} = \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (\text{y 轴方向走 1 步})
  • 三维空间 R3\mathbb{R}^3：多了 z 轴，大家叫它们 i^,j^,k^\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}：
i^=[100],j^=[010],k^=[001]\hat{\mathbf{i}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{\mathbf{j}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \hat{\mathbf{k}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
  • 更一般的高维空间 Rn\mathbb{R}^n：字母不够用了，就统一写成 e1,e2,…,en\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n。

我们在坐标系里写下一个向量，例如 v=[3−25]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{bmatrix} 时，这三个数字到底代表什么？ 用标准基向量拆开看：

v=3[100]+(−2)[010]+5[001]=3i^−2j^+5k^\mathbf{v} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + (-2)\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\hat{\mathbf{i}} - 2\hat{\mathbf{j}} + 5\hat{\mathbf{k}}

坐标 (3,−2,5)(3, -2, 5) 根本不是什么抽象符号，它其实就是一份路线指南——“沿着 i^\hat{\mathbf{i}} 方向走 3 步，沿着 j^\hat{\mathbf{j}} 方向反向走 2 步，再沿着 k^\hat{\mathbf{k}} 方向走 5 步”

这就是为什么标准基这么重要：空间里的任何一个点，都是由这几个基向量按一定比例“缩放后再加起来”（线性组合）得到的。

关系：标准基向量与矩阵

基向量的像 = 矩阵的列

矩阵的每一列，就是对应标准基向量被变换后的“落脚点”。

假设有一个变换矩阵 A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}，我们让它分别作用在标准基向量上：

  • 让 AA 乘以第一基向量 e1=[10]\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}：
A[10]=[abcd][10]=[ac](刚好把矩阵的第 1 列给“扣”出来了)A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \quad (\text{刚好把矩阵的第 1 列给“扣”出来了})
  • 让 AA 乘以第二基向量 e2=[01]\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}：
A[01]=[abcd][01]=[bd](刚好把矩阵的第 2 列给“扣”出来了)A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \quad (\text{刚好把矩阵的第 2 列给“扣”出来了})

对任意 m×nm \times n 矩阵 A ，有：

Aej=矩阵 A 的第 j 列A\mathbf{e}_j = \text{矩阵 } A \text{ 的第 } j \text{ 列}

即：

Ae1=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)(100)=(a11a21a31)=第 1 列A\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{pmatrix} = \text{第 1 列}

同理可得第 2 列、第 3 列、第N列。。。 完整写法：

A=(T(e1)T(e2)T(e3))A = \begin{pmatrix} T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & T(\mathbf{e}_3) \end{pmatrix}

拼起来就是 Identity Matrix 单位矩阵

把这几个标准基向量按顺序一列一列拼起来：

I=[i^j^]=[1001]I = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

这就是大家熟知的单位矩阵 II。 因为它的每一列都是原始、没受任何改变的基向量，所以任何向量乘以单位矩阵 II，都相当于“在原封不动的网格里按原指南走步”，结果当然保持原样。

Backward Basis 基 Normal Vector 法向量 Forward