Span 张成空间

Span（张成空间） 是一个向量集合。描述的是 给定几个向量，只用"缩放再相加"（线性组合）这一种手段，总共能到达哪些地方（组成的新的向量的集合）。

我们说向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k$ 的 span 是：

读法：系数 $c_1, \dots, c_k$ 取遍所有实数时，所有可能的输出组成的集合。

属性-一定包含零向量

Span 总是包含零向量。只要把所有线性组合的系数都取为 $0$：

就有：

因此：

这也是为什么由 Span 得到的直线或平面一定经过原点。

属性-张成空间的维数

Span 的 维数 表示 给定的几个向量中实际“独立方向”的个数，也就是 Rank 秩。也就是这组向量中线性无关向量的最大个数。（定义 A/B）

例如： $v1=(1,0,0),v2=(0,1,0),v3=(1,1,0)$ 虽然给了 3 个向量，但 $v3=v1+v2$，线性相关；独立向量只有 2 个（v1 和 v2）；span(v1,v2,v3) 是实际的维数是2。

特别地，在方程的系数矩阵中，我们形容列(或行)向量的张成空间的维数 为 Rank 秩。这也是 秩的定义之一：

参见：定义A

例子

一个非零向量 → 一条过原点的直线。

$c$ 取遍所有实数，结果就是直线 $y=2x$——方向被钉死了，只剩"走几步、正着走还是倒着走"的自由。

两个共线的向量 → 还是那条直线

加一个 $(2,4)$ 进来，它是 $(1,2)$ 的 2 倍，没有带来任何新方向，能到达的地方一点没变：

这正是 Basis 基 里"不张成"的那个例子：两个向量看着多了一个，活动范围却没有变大。

两个不共线的向量 → 整个平面

比如标准基 $(1,0)$、$(0,1)$，任何 $(x,y)$ 都凑得出来：

零向量 → 一个点

不管怎么缩放都是零，只能呆在原点：$\text{span}(\mathbf{0}) = \{\mathbf{0}\}$。

区分：Span 张成空间 VS Basic 基

Span 张成空间 是 Basis 基 的两个条件之一：一组向量想当基，先得张成整个空间（“哪都能去”），再满足线性无关（“路线唯一”）。

区分：Span 张成空间 VS Rank 秩

Rank 秩 是方程的系数矩阵的列(或行)向量 张成空间的维数（秩的定义A）。也就是说，秩 是一个数字。

Span 张成空间 是用来描述的是 给定几个向量，只用"缩放再相加"（线性组合）这一种手段，总共能到达哪些地方（组成的新的向量的集合）。 也就是说，张成空间一个向量集合。

区分：Span 张成空间 VS Column Space 列空间

通俗的说，概念上 Span 张成空间就是 苹果，Column Space 列空间就是 红富士。

• Span（苹果）：是一个抽象的动作/概念。它描述的是“任意几个向量通过线性组合能生成的所有可能结果”这一种玩法。

• Column Space（红富士）：是一个具体的实例/对象。它特指“矩阵 $A$ 的那些列向量，按照 Span 的玩法，最终生成的这个具体 集合”。

或者说：Column Space 列空间 指的是：在系数矩阵中，矩阵的所有列向量组成的 Span 张成空间。矩阵 $A$ 的列作为空间中的向量能到达的所有地方，就是 $A$ 的 Column Space 列空间，也就是 $A$ 作为"变换机器"所有可能的输出。所以"$Ax=b$ 有没有解"这个问题，就是在问：$b$ 向量这个解在不在列向量的 span 里。