Preimage 原像

Preimage 原像，就是一个输出经过变换反向寻找时，能够得到这个输出的所有输入。它和 Image 像正好是观察同一个变换的两个方向：Image 从输入看输出，Preimage 从输出找输入。

如果 $T$ 是一个从输入空间 $V$ 到输出空间 $W$ 的变换，给定一个输出向量 $\mathbf y\in W$ ，那么我们关心的是：

哪些输入向量 $\mathbf x\in V$ ，经过 $T$ 后会得到 $\mathbf y$ ？

这些输入向量组成的集合，就是 $\mathbf y$ 在 $T$ 下的 Preimage（原像）。注意， $\mathbf y$ 本身是某个输入向量的 Image 像；现在我们把问题倒过来，寻找所有能产生它的输入。

定义

设 $T:V\to W$ ， $\mathbf y\in W$ 。 $\mathbf y$ 在 $T$ 下的原像定义为：

T^{-1}(\mathbf y)=\{\mathbf x\in V\mid T(\mathbf x)=\mathbf y\}

这里的 $T^{-1}(\mathbf y)$ 表示的是一个集合，不是说 $T$ 一定存在逆函数。为了避免和逆函数混淆，也常写成：

T^{-1}(\{\mathbf y\})

如果线性变换由矩阵 $A$ 表示：

T(\mathbf x)=A\mathbf x

那么 $\mathbf b$ 的原像就是所有满足下面方程的输入：

A\mathbf x=\mathbf b

因此，解线性方程组 $A\mathbf x=\mathbf b$ ，本质上就是在寻找 $\mathbf b$ 在变换 $A$ 下的原像。

考虑把平面压到 $x$ 轴上的变换：

A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}

输出 $\mathbf b=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ 的原像满足：

A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad x=2

所以原像不是一个输入，而是一整条直线：

T^{-1}(\mathbf b)=\left\{\begin{pmatrix}2\\y\end{pmatrix}\middle|y\in\mathbb R\right\}

这说明变换把许多不同的输入压到了同一个输出上。

给定输出 $\mathbf b$ 后，原像可能有三种情况：

空集：没有输入能产生 $\mathbf b$ 。这等价于 $\mathbf b$ 不在 $T$ 的 Image Space 像空间（或矩阵 $A$ 的列空间）中；
只有一个输入：恰好只有一个 $\mathbf x$ 映射到 $\mathbf b$ ；
有无穷多个输入：多个输入映射到同一个 $\mathbf b$ 。

在线性变换中，如果 $\mathbf x_0$ 是一个原像，也就是 $T(\mathbf x_0)=\mathbf b$ ，那么所有原像可以写成：

\mathbf x=\mathbf x_0+\mathbf n,\qquad \mathbf n\in\operatorname{Ker}(T)

用矩阵表示就是：

\mathbf x=\mathbf x_0+\mathbf n,\qquad A\mathbf n=\mathbf 0

所以，原像的数量和形状由 Kernel 核（零空间） 决定：零空间只有零向量时，原像至多一个；零空间中存在非零向量时，只要有一个原像，就会有无穷多个。

因此，写下 $T^{-1}(\mathbf y)$ 并不自动表示 $T$ 有逆函数。它首先表示“ $\mathbf y$ 的原像集合”。