n-dimensional real space n维实数空间(Rn)

Rn\mathbb R^n n-dimensional real space n 维实数空间 是一个Vector Set 向量集。可以理解成：由 nn 个实数组成的所有向量的集合。

在这个集合中，每个元素是一个向量，有无限多个向量。每个向量的Component是一个实数，有N个Component。

这里的符号分别表示：

  • R\mathbb R：实数集合（Real numbers）；
  • nn：向量的维度，也就是Component 分量的个数；
  • Rn\mathbb R^n：所有 nn 维实向量组成的空间。

R1\mathbb R^1：数轴

R1={x∣x∈R}\mathbb R^1=\{x\mid x\in\mathbb R\}

它的每个元素只有一个分量，可以看作普通的数轴。

R2\mathbb R^2：二维平面

R2={[x1x2]|x1,x2∈R}\mathbb R^2= \left\{ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \middle|x_1,x_2\in\mathbb R \right\}

例如：

[35]∈R2\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}\in\mathbb R^2

每个元素有两个分量，所以 R2\mathbb R^2 就是熟悉的二维平面。

R3\mathbb R^3：三维空间

R3={[x1x2x3]|x1,x2,x3∈R}\mathbb R^3= \left\{ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \middle|x_1,x_2,x_3\in\mathbb R \right\}

例如：

[2−17]∈R3\begin{bmatrix}2\\-1\\7\end{bmatrix}\in\mathbb R^3

它可以表示三维空间中的一个向量。

一般形式：Rn\mathbb R^n

Rn={[x1x2⋮xn]|xi∈R}\mathbb R^n= \left\{ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} \middle|x_i\in\mathbb R\right\}

也就是说，一个元素 x∈Rn\mathbf x\in\mathbb R^n 长这样：

x=[x1x2⋮xn]\mathbf x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}

其中每一个 xix_i 都是实数；ii 从 11 变化到 nn，表示向量的第 ii 个分量。

Backward Vector Set 向量集 Span 张成空间 Forward