Image Space 像空间

$T(\mathbf{v})$ 指是 向量 $\mathbf{v}$ 在变换 $T$ 下的 Image 像。也就是说：

这里的 $T(\mathbf{v})$ 是一个具体的输出向量，也就是一个具体向量 $\mathbf{v}$ 的像。如果我们不只看一个具体的向量，而是让定义域 $V$ 中的所有向量都经过变换 $T$，会得到什么？

每一个输入向量都会得到一个对应的 Image（像）：

这些所有可能得到的输出向量组成的集合 $\{v_1, v_2, v_3 \dots \}$，就是 $T$ 的 Image Space（像空间）。

定义

设 $T:V\to W$ 是一个线性变换。那么 $T$ 的 Image Space（像空间） 为：

读作：

所有形如 $T(\mathbf{v})$ 的向量，其中 $\mathbf{v}$ 取遍整个定义域 $V$。

区分：Image Space VS Image

一个向量的 Image（像）指的是，给定一个具体的向量 $\mathbf{v}\in V$：

$T(\mathbf{v})$ 是一个具体的输出向量，也就是 $\mathbf{v}$ 的 Image（像）。

Image Space（像空间）指的是，让定义域 $V$ 中的所有向量经过 $T$，所有得到的像组成：

观点：可以用矩阵表示 Image Space 像空间

如果线性变换 $T$ 可以由矩阵 $A$ 表示：

其中：

那么：

其 Image Space 像空间 为：

区分：Image Space 像空间 VS Column Space 列空间

如果线性变换 $T$ 可以用矩阵 $A$ 表示：

那么：

它们描述的是同一个空间，只是关注的角度不同。

Image Space（像空间）

Image Space 是从线性变换 $T$ 的角度来描述的。

设：

那么：

也就是说：

让定义域 $V$ 中所有向量经过 $T$，所有可能得到的输出向量组成的空间，就是 Image Space。

重点是所有可能的输出

Column Space（列空间）

Column Space 是从矩阵 $A$ 的角度来描述的。

假设：

其中 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\ldots,\mathbf a_n$ 是 $A$ 的列向量。

那么：

也就是说：

矩阵 $A$ 的所有列向量能够通过线性组合得到的所有向量组成的空间，就是 Column Space。

重点是所有列向量的线性组合

为什么它们相等？

设：

那么：

也就是说：

$A\mathbf{x}$ 本质上就是 $A$ 的列向量的一个线性组合。

而 $\mathbf{x}$ 可以取遍 $\mathbb R^n$ 中的所有向量，因此 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 可以取遍所有实数。所以：

左边正是 Image Space：

右边正是 Column Space：

因此：

总结

Image Space：

从“变换”来看：所有能输出什么？

Column Space：

从“矩阵”来看：所有列能组合出什么？