Basis 基

Basis 基 是一个向量组。能作为$\mathbb{R}^n$向量空间的一组参照系：用它们做"走步方向"，空间里任何一个向量都能被唯一地表示出来。$\mathbb{R}^n$空间中的 基 正好包含 $n$ 个向量。

条件: 成为$\mathbb{R}^n$基

不是 $\mathbb{R}^n$ 空间中，任意一组$n$个向量 $\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_n\}$ 能够成为 $\mathbb{R}^n$ 的基。必须同时满足两个条件：

1. 向量组的 Span 张成空间 能覆盖整个空间：向量组的线性组合能代表空间里的每一个向量——“哪都能去”；
2. 向量组向量间彼此Linearly independent 线性无关：它们之中没有冗余——“路线唯一”。

条件 1 - 张成整个空间

二维平面上任意一个向量，例如 $(3,-2)$，都能用 标准基 $\hat{\mathbf{i}}=(1,0)$、$\hat{\mathbf{j}}=(0,1)$ 凑出来：

不仅 $(3,-2)$，任何 $(x,y)$ 都可以用标准基表示。

不张成：取 $(1,2)$ 和 $(2,4)$ 作为 基 ——注意 $(2,4)$ 是 $(1,2)$ 的 2 倍，两个向量在同一条直线上。不管怎么组合：

看看结果的两个分量（元素）有什么关系：第二分量 $2a+4b = 2(a+2b)$，是第一分量的 2 倍。也就是说，无论输入是什么（$a，b$ 取什么），输出的量：$\begin{bmatrix} a+2b\\ 2a+4b \end{bmatrix}$ ，第二个元素与第一个元素者成比例关系。把第一个元素记为 $x$，把第二个元素记为 $y$，把组合出来的点记作 $(x, y)$，那么不管 $x, y$ 怎么取，都有：

这正是直线方程 $y=2x$——能到达的地方只有这一条直线，平面上的其他点（比如 $(1,0)$）一个都到不了，这就是没有张成整个平面。

条件 2 线性无关

还是标准基，$(3,-2)$ 的走法只有一种：3 步 $\hat{\mathbf{i}}$、反向 2 步 $\hat{\mathbf{j}}$，不存在第二组系数。但如果添加一个多余的向量 $(1,1)$ 进来，候选的 基 就变成了三个向量：

其中第三个向量 $\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} = 1\cdot\hat{\mathbf{i}} + 1\cdot\hat{\mathbf{j}}$，能被前两个组合出来——它是多余的。 $(3,-2)$ 就有别的走法：

“路线指南"不唯一，一个目标坐标可以有多套走法。所以我们说，$\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 这三个向量组，不能成为二维平面上的一个基。

例子：用一套非标准的基来表示向量

标准基 是我们最习惯的那组基，但它不是唯一选择。比如在 $\mathbb{R}^2$ 里取：

这两个向量不共线，也就是线性无关；$2$ 维空间里正好 $2$ 个——它俩就是一组合法的基。

同一个向量，在这套新基下的"路线指南"完全不同。 拿向量 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}$ 试试：它在标准基下的走法是"沿 $\hat{\mathbf{i}}$ 走 3 步、沿 $\hat{\mathbf{j}}$ 走 1 步”，写成方程就是：

标准基太"顺手"了——系数 $3, 1$ 直接就是坐标本身，所以平时甚至意识不到"坐标是相对于基说的"。换成新基就没这么省事了，要真的去找系数 $a, b$ 使得：

拆开就是方程组：

所以同一个 $\mathbf{v}$，在新基下的坐标是 $(2, 1)$——“沿 $\mathbf{b}_1$ 走 2 步、沿 $\mathbf{b}_2$ 走 1 步”，到达的还是原来那个点。

用 行列式 可以快速检查一组候选基是否合法。比如我们选定一组新基 $(1,1)$、$(1,-1)$，把它们拼成矩阵，因为：

所以这两列线性无关、能张成整个 $\mathbb{R}^2$——它俩确实是一组合法的基。（$\det \neq 0$、满秩、可逆，说的都是同一件事。）

区分：基 VS 标准基 VS 标准基向量

参见：区分：基 VS 标准基 VS 标准基向量

观点：任何线性方式组，可以补看作是基表达