Linear System 线性系统

线性系统是满足齐次性（Homogeneity）与可加性（Additivity）的系统；二者合称叠加原理（Superposition Principle）。

可预测 指系统规则是 Homogeneous 同质的，即系统满足一种 “按比例放大缩小”的均匀性 规则。

f(k⋅x)=k⋅f(x)

可拆解 指系统规则是 Additivity 可叠加性，即系统允许将复杂输入拆成简单分量分别求解后再合成。

f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)

线性描述的不是系统“长得简单”，而是系统如何响应输入。也就是说对于任意输入 $x_1,x_2$ 和任意常数 $a,b$ ，输出能不能反映成：

f(ax_1+bx_2)=af(x_1)+bf(x_2)

已知线性系统的同质性：

f(ax)=af(x)

令 $a=0$ ：

f(0)=0f(x)=0

即：

\boxed{f(0)=0}

也就是说 线性系统一定把零输入映射成零输出。 例如：

f(x)=2x+3

虽然它看起来很简单，但：

f(0)=3\neq0

所以它不是线性系统。它其实是：

\text{线性部分}+ \text{常数偏移}

也就是所谓的 Affine（仿射）系统。