Pivot 主元

主元（Pivot）是高斯消元得到的阶梯形矩阵中，每一个**非零行从左往右遇到的第一个非零数。

例如：

\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&-1&-2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}

从左往右观察每一行：

\begin{pmatrix} \boxed{1}&2&3\\ 0&\boxed{-1}&-2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}

因此：

\boxed{\text{Pivot 的个数}=2}

定义

在行阶梯形矩阵（REF）中，每个非零行最左边的非零元素称为一个 Pivot（主元）。

Pivot 可以帮助我们判断：一个矩阵到底有多少个真正独立的信息

A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 1&1&1 \end{pmatrix}

第二行满足：

R_2=2R_1

且第三行确实与第一行不成倍数，所以最后有两个独立行。所以说第二行实际上是重复信息。

进行高斯消元后，可以看到两个 Pivot：

\begin{pmatrix} \boxed{1}&2&3\\ 0&\boxed{-1}&-2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}

有两个 Pivot。这意味着这个矩阵中有：

\text{Pivot 的个数} = 真正独立的信息 = 独立行的数量 = 2

\begin{pmatrix} \boxed{1}&2&3\\ 0&\boxed{-1}&-2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}

Pivot 分别位于第 1、2 列，因此第 1、2 列称为 Pivot Columns（主元列）。称第 3 列是非主元列，因为：

a_1= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad a_2= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad a_3= \begin{pmatrix} 3\\ 6\\ 1 \end{pmatrix}

a_3=2a_2-a_1

第三列 $a_3$ 不提供新的线性独立信息，因为它可以由 $a_1,a_2$ 线性组合得到。也就是输出的结果，只要用到 $a_1, a_2$ 就可以了

\text{Pivot 的个数} = 真正独立的信息 = 独立列的数量 = 2

\text{Pivot 的个数} = \text{主元列的数量}

从 Pivot 的作用可以看出，Pivot 的数量反映了矩阵中线性独立信息的数量，这与 Rank 的定义是一致的。

\boxed{ \text{Pivot 的数量} = \text{独立行的数量} = \text{独立列的数量} }

\boxed{ \text{Pivot 的数量} = \text{Rank} = \text{最大线性无关行（或列）的数量} }