Identity Matrix 单位矩阵

单位矩阵（$Identity\ Matrix$）是矩阵世界里的数字 “$1$"。

数字 1 在乘法里的地位很特殊：任何数乘它都等于自己，$a \times 1 = a$。矩阵世界里扮演这个角色的，就是单位矩阵 $I$。

定义

单位矩阵是主对角线（左上到右下）上全是 $1$、其余位置全是 $0$ 的方阵：

下标 $n$ 表示几阶，明确时直接写 $I$。有时也用 $E$ 表示。

代数视角：乘了等于没乘

任何一个向量乘上 $I$，结果原封不动：

任何矩阵乘上 $I$，也原封不动：

几何视角：“什么都不做"的变换

用“列 = 基向量落点”的读法看 $I$：

• 第一列 $(1,0)$：$\hat{\mathbf{i}}$ 变换后还在原地
• 第二列 $(0,1)$：$\hat{\mathbf{j}}$ 变换后还在原地

两个基向量都没动，整个空间自然纹丝不动。所以 $I$ 代表的线性变换是恒等变换（identity transformation）——什么都不做。

$Ix=x$ 不是一句废话：正因为"恒等变换"也有矩阵形式，它才能被塞进矩阵运算的链条里，成为下面所有性质的支点。