Column Space 列空间

Column Space 列空间是一个集合。它是系数矩阵的列向量组成的集合 $\{\mathbf v_1,\mathbf v_2 \dots \mathbf v_k\}$ 的 Span 张成空间。也就是说 Column Space 列空间 就是矩阵的所有列向量能够通过线性组合得到的所有向量组成的集合。假设系数矩阵：

A= \begin{bmatrix} | & | & & | \\ \mathbf v_1 & \mathbf v_2 & \dots & \mathbf v_k \\ | & | & & | \\ \end{bmatrix}

其中 $\mathbf v_1,\mathbf v_2 \dots \mathbf v_k$ 是 $A$ 的 $k$ 个列向量。那么系数矩阵 $A$ 的 Column Space 列空间 定义为：

\operatorname{Col}(A) = \operatorname{span}\{\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\}

展开就是：

Col(A)= \text{span}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k) = \{\, c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k \mid c_1, c_2, \dots, c_k \in \mathbb{R} \,\}

我们也可以用像空间来表示：

\boxed{ \operatorname{Col}(A) = \operatorname{Im}(T) }

区分：Image Space 像空间 VS Column Space 列空间

参见：区分：Image Space 像空间 VS Column Space 列空间