Linearly dependent 线性相关

向量 $w_1, w_2$

w_1=(1,1),\qquad w_2=(2,2)

可以互相表示： $w_2=2w_1$ 。也就是说，我们如果想要构建：

c_1w_1 + c_2w_2 = 0

这个方程，除了 $c_1=c_2=0$ 之外，还存在其它解，比如：

2w_1 - w_2 = 0 \qquad (c_1=2,\ c_2=-1)

因此称向量 $w_1, w_2$ 线性相关。

把向量画在二维平面上，“线性相关” 的几何含义是：至少有一个向量是"多余的"，它没有带来新的方向。

两种典型情况：

两个向量共线： $w_2=2w_1$ ，两个向量躺在同一条直线上，无论怎么组合都只能在那条线上打转；
平面上任意 3 个向量必然线性相关：平面只有 2 个独立方向，第 3 个向量一定能由前两个拼出来，比如 $v_3=v_1+v_2$ （ $v_1+v_2-v_3=0$ 就是一组非零解）。

推广到一般情形： $n$ 维空间中，任意多于 $n$ 个向量必然线性相关 —— 空间的独立方向一共只有 $n$ 个，多出来的向量一定能被表示。

Linearly independent 线性无关里的系数矩阵就是一个线性相关的例子：

A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&1&0 \end{pmatrix}

因为 $r_3=r_1+r_2$ ，所以：

r_1+r_2-r_3=0

方程 $c_1r_1+c_2r_2+c_3r_3=0$ 有非零解 $(1,1,-1)$ ，因此 $r_1,r_2,r_3$ 线性相关。

换句话说，线性相关说明行向量里有"水分"——真正独立的行向量比总行数少。结合 Rank 秩的定义：

\boxed{\text{行向量线性相关}\iff \operatorname{rank}(A) < \text{行向量的个数 } m}

对应地： $\text{行向量线性无关}\iff \operatorname{rank}(A) = m$ （秩满，也称 行满秩）。

定义

设矩阵

A= \begin{pmatrix} r_1\\ r_2\\ \vdots\\ r_m \end{pmatrix}

其中 $r_1,r_2,\dots,r_m$ 是矩阵的行向量。

如果方程：

c_1r_1+c_2r_2+\cdots+c_mr_m=0

存在不全为零的解（即除了 $c_1=c_2=\cdots=c_m=0$ 之外还有其它解），那么称 $r_1,r_2,\dots,r_m$ 线性相关。

一个等价的常用说法：至少有一个向量可以由其余向量线性表示。

为什么等价？如果 $c_1r_1+\cdots+c_mr_m=0$ 中某个系数 $c_k\neq 0$ ，就可以把它移到等号另一边再除掉：

r_k=-\frac{1}{c_k}\bigl(c_1r_1+\cdots+c_{k-1}r_{k-1}+c_{k+1}r_{k+1}+\cdots+c_mr_m\bigr)

反过来，如果某个向量能由其余向量表示，把它移到等号同一边，就得到一组不全为零的系数。

“线性组合”就是：

c_1r_1+c_2r_2+\cdots+c_mr_m

其中 $c_1,c_2,\dots,c_m$ 是数字。例如：

2r_1-3r_2

就是 $r_1,r_2$ 的一个线性组合。所以如果一个向量可以写成其他向量的这种形式，就说这个向量可以由其他向量线性表示——向量之间存在这种"可以互相表示"的关系，就称为 线性相关；反之谁都表示不了谁，就是 线性无关。