Change of Basis 基变换

Change of Basis 基变换，就是利用线性变换，把一个向量从一套基的表达方式，转换成另一套基的表达方式。

概念：基矩阵

任何一个向量都可以看作是单位向量的组合，也就是说在 Standard Basis 标准基 组成的线性空间中，任何一个向量都可以看作是标准基的线性组合。如果采用一个新基，那么这个新基也可以用标准基来表示，也就是说 新基 $\{\mathbf b_1,\ldots,\mathbf b_n\}$ 集合中，中任意一个 基向量 $b_i$ ，可以通过 标准基的线性变换 得到, 定义这个变换的过程为 $P$ :

因为根据矩阵乘法的列提取法则：

我们称 P 为基矩阵。此矩阵描述的就是输入单位向量转化成新基向量的过程。

假设在一个线性空间中有一个向量 $v$ , 它在旧基下坐标是 $y$，在新基下坐标是 $x$。因为新旧基都能表示同一个向量 $v$：

因为旧基是标准基，矩阵形式就是单位矩阵 $I$ ，所以：

即：

也就是说，新基下的坐标 通过 $P$ 基矩阵的变换可以得到 旧基下的坐标。

运算：从新基坐标换回旧基坐标

基变换的核心公式就是 $[\mathbf v]_E=P[\mathbf v]_B$。

例如，旧基 $E$ 是标准基，新基为：

若新基中的一个向量为 $[\mathbf v]_B=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$，则旧基下这个向量为：

在这个例子中真正发生的是：同一个向量 $\mathbf v=(3,1)$，换了一套走步方向来描述，新基为 $b_1、b_2$的情况下：

• 用标准基 $\mathbf e_1,\mathbf e_2$：走 $3$ 步水平方向、$1$ 步竖直方向；
• 用新基 $\mathbf b_1,\mathbf b_2$：沿斜着的 $\mathbf b_1$ 走 $2$ 步、沿 $\mathbf b_2$ 走 $1$ 步。

两种走法到达的是同一个终点，改变的是坐标系数和参照方向，不是向量本身：

运算：从旧基坐标换到新基坐标

如果已知旧基坐标 $[\mathbf v]_E$，想找新基坐标 $[\mathbf v]_B$，就需要解：

当 $P$ 可逆时：

因此，$P^{-1}$ 是“旧基坐标 $\to$ 新基坐标”的转换矩阵，而 $P$ 是“新基坐标 $\to$ 旧基坐标”的转换矩阵。

运算：同一个线性变换在新基下的矩阵

问题

已知线性变换 $T$ 在旧基 $E$ 下的矩阵为 $A$：

求 T 在新基 B 下的矩阵 $[T]_B$ ，使得:

解法：三步走

对一个新基坐标输入 $\mathbf x_B$：

1. 翻译输入：$\mathbf x_E=P\mathbf x_B$；
2. 执行旧坐标下的变换：$\mathbf y_E=A\mathbf x_E$；
3. 翻译输出：$\mathbf y_B=P^{-1}\mathbf y_E$。

把三步连起来：

因此，同一个线性变换在新基下的矩阵为：

具体例子

仍使用：

假设旧基下的变换为：

新基下的矩阵为：

取新基坐标输入 $\mathbf x_B=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$，按三步计算：

直接使用新基矩阵也得到相同结果：

所以 $P^{-1}AP$ 的含义是：先把新基坐标翻译成旧基坐标，执行 $A$，再把结果翻译回新基坐标。